diff.-bare Folge konv. -> |x| < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Mi 06.05.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe 1 | Zeigen Sie:
Die Folge der differenzierbaren Funktionen [mm] $f_n [/mm] : [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \wurzel{\bruch{1}{n} + x^2}$ [/mm] gleichmäßig gegen [mm] $|*|:\IR \to \IR$ [/mm] (Betragsfunktion) konvergiert. |
| Aufgabe 2 | | Konvergiert die Ableitung ebenfalls? |
Ok. Zunächst mal möchte ich die Konvergenz zeigen:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{\bruch{1}{n} + x^2} [/mm] = [mm] \wurzel{0 + x^2} [/mm] = [mm] \wurzel{x^2}$
[/mm]
Ziemlich stumpf, daher bin ich mir nicht sicher ob das reicht. Zumal mich dieses "gleichmäßig" stört. Was soll das?
Und dass [mm] $\wurzel{x^2} [/mm] = |x|$ in [mm] \IR [/mm] ist klar. Nur fällt mir kein Ansatz zum Beweisen ein.
Das zweite müsste man Analog mit [mm] $\bruch{x}{\wurzel{\bruch{1}{n} + x^2}}$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Mi 06.05.2009 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
es gibt punktweise und gleichmäßige Konvergenz, die Definitionen unterscheiden sich.
Punktweise Konvergenz:
[mm] f_n \to [/mm] f [mm] \gdw
[/mm]
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D [mm] \exists n_0 \in \IN \forall n>n_0 |f_n(x)-f(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Gleichmäßige Konvergenz:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_0 \in \IN \forall n>n_0 \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D [mm] |f_n(x)-f(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
D soll dabei der Definitonsbereich von f sein.
Der Unterschied dieser beiden Definitionen liegt also bei der Stellung des All-Quantors für x [mm] \in [/mm] D.
Bei der punktweisen Konvergenz wird ein x [mm] \in [/mm] D vorgegeben und für diese eine Stelle die Konvergenz überprüft, während bei der gleichmäßigen Konvergenz für alle x "gleichzeitig" [mm] f_n [/mm] gegen f konvergiert.
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Mi 06.05.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Na Super.
Mit solchen Beweisen habe ich die größten Probleme.
Nun ist zu prüfen:
[mm] $\vmat{ \wurzel{\bruch{1}{n} + x^2} - |x| } [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $
In diesem Fall weis ich nicht, wie [mm] \varepsilon [/mm] zu definieren ist um einen einfachen Beweis hinzubekommen. Oder wie man es überhaupt anstellt.
Da geht's bei mir im Kopf los die Symmetrie der Dreiecksungleichung zu nutzen und daraus dies zu machen:
[mm] $\varepsilon [/mm] < [mm] \wurzel{\bruch{1}{n} + x^2} [/mm] + |x|$
Was sicherlich schon ab hier nicht mehr reicht als Beweis. Weiterhin würde ich [mm] $\varepsilon [/mm] := [mm] \wurzel{\bruch{1}{n}}$
[/mm]
[mm] $\varepsilon [/mm] < [mm] \wurzel{\bruch{1}{n} + x^2} [/mm] + |x|$
[mm] $\gdw \wurzel{\bruch{1}{n}} [/mm] < [mm] \wurzel{\bruch{1}{n} + x^2} [/mm] + |x|$
[mm] $\gdw \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + [mm] |x|^2$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 0 < [mm] x^2 [/mm] + [mm] |x|^2$
[/mm]
Sieh schön aus. Aber genau so ein Murks zauber ich da immer hin. Wie gesagt: Problemzone bei mir ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Mi 06.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \epsilon [/mm] kannst du nicht waehlen, es heisst doch :
zu JEDEM [mm] \epsilon [/mm] ....
du musst n in abhaengigkeit von [mm] \epsilon [/mm] waehlen bzw. bestimmen.
das ist bei jedem [mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] und [mm] \epsilon- [/mm] N beweis so.
Stell dir immer vor, der Pruefer sagt dir ein [mm] \epsilon [/mm] z. bsp [mm] \epsilon=1/10000 [/mm] dann musst du ihm ein passendes N sagen, dann aendert er sein [mm] \epsilon [/mm] auf [mm] 10^{-1000} [/mm] und will wieder ein N usw. eben zu JEDEM [mm] \epsilon [/mm] !!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Mi 06.05.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Das ist richtig gut Erklärt.
Bleibt zu hoffen, dass es richtig umgesetzt wurde ;)
[mm] $\wurzel{\bruch{1}{n}+x^2} [/mm] - |x| < [mm] \varepsilon$
[/mm]
[mm] $\gdw \wurzel{\bruch{1}{n}+x^2} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] + |x|$
[mm] $\gdw \bruch{1}{n}+x^2 [/mm] < [mm] \varepsilon^2 [/mm] + [mm] 2\varepsilon|x| [/mm] + [mm] |x|^2$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon^2 [/mm] + [mm] 2\varepsilon|x|$, [/mm] da [mm] $x^2 [/mm] = [mm] |x|^2$
[/mm]
Kehrwert:
[mm] $\gdw [/mm] n > [mm] \bruch{1}{\varepsilon^2 + 2\varepsilon|x|}$
[/mm]
Womit das N gefunden ist und der Beweis fertig?
Für den Fall das nun jemand sagt: [mm] \varepsilon [/mm] sei 1/10000
Sollte $n > [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{10000}^2 + 2\bruch{1}{10000}|x|} [/mm] = [mm] \bruch{10^8}{20000x + 1}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 Do 07.05.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das ist richtig gut Erklärt.
> Bleibt zu hoffen, dass es richtig umgesetzt wurde ;)
>
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{n}+x^2} - |x| < \varepsilon[/mm]
>
> [mm]\gdw \wurzel{\bruch{1}{n}+x^2} < \varepsilon + |x|[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{n}+x^2 < \varepsilon^2 + 2\varepsilon|x| + |x|^2[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{n} < \varepsilon^2 + 2\varepsilon|x|[/mm], da [mm]x^2 = |x|^2[/mm]
>
> Kehrwert:
> [mm]\gdw n > \bruch{1}{\varepsilon^2 + 2\varepsilon|x|}[/mm]
>
> Womit das N gefunden ist und der Beweis fertig?
Nicht ganz, aber fast. Dein N hängt noch von x ab. Das ist punktweise Konvergenz: zu jedem [mm] $\varepsilon$ [/mm] und x kannst du ein N angeben.
Gleichmäßige Konvergenz bedeutet: zu jedem [mm] $\varepsilon$ [/mm] kannst du ein N angeben, das für alle x funktioniert.
Du musst also deine Ungleichung nur noch ein bischen verändern, indem du das Supremum der rechten Seite bzgl x nimmst.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:04 Do 07.05.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
$n > [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \pmat{\bruch{1}{\varepsilon^2 + 2\varepsilon|x|}} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\varepsilon^2 + 2\varepsilon|x|}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] n > [mm] \bruch{1}{\varepsilon^2} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\varepsilon^2 + 2\varepsilon|x|}$
[/mm]
Tadaaa.
So langsam Liebe ich Ana wieder.
[mm] $n:=\bruch{1}{\varepsilon^2}$
[/mm]
[mm] $\wurzel{\bruch{1}{n} + x^2} [/mm] - |x| < [mm] \varepsilon$
[/mm]
[mm] $\gdw \wurzel{\varepsilon^2 + x^2} [/mm] - |x| < [mm] \varepsilon$
[/mm]
$ [mm] \gdw \wurzel{\varepsilon^2 + x^2} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] + |x| $
$ [mm] \gdw \varepsilon^2 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] < [mm] \varepsilon^2 [/mm] + [mm] 2\varepsilon|x| [/mm] + [mm] |x|^2 [/mm] $
$ [mm] \gdw [/mm] 0 < [mm] 2\varepsilon|x| [/mm] $
Na endlich. Scheint noch ein Problem mit x=0 zu geben. Finde ich bestimmt noch.
Vielen Dank für die Hilfe an alle!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:17 Do 07.05.2009 | | Autor: | fred97 |
1. Für nichtnegative Zahlen a unb gilt:
[mm] $\wurzel{a+b} \le \wurzel{a}+\wurzel{b}$
[/mm]
2.
[mm] $|\wurzel{x^2+1/n}-|x|| [/mm] = [mm] \wurzel{x^2+1/n}-|x| \le \wurzel{x^2}+ \wurzel{1/n}-|x| [/mm] = |x| [mm] +\wurzel{1/n}-|x| [/mm] = [mm] \wurzel{1/n}$
[/mm]
Daraus folgt die gleichmäßige Konvergenz.
FRED
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